Введение

Беспоисковый метод — простой, надёжный и универсальный метод расчёта настроек субоптимальных регуляторов, включая и такие алгоритмы как ПД, ПДД и ПИДД [1]. 

Однако, приведенная в [1] программная реализация данного метода имеет ряд недостатков, что затрудняет его применение в микропроцессорных регулирующих приборах.

Основы структур данных

Массив

Определение:

• Хранит элементы данных на основе последовательного индекса, чаще всего с нулевой базой.
• В его основе лежат кортежи из теории множеств.
• Массив — одна из старейших и наиболее используемых структур данных.

Среди недостатков можно выделить такие:

Неоднозначность в определении диапазона рабочих частот, которая, даже при наличии сглаживающего звена в структуре передаточной функции регулятора, может привести к отрицательным значениям настроек;

В работе [1] для реализации беспоискового метода расчёта регуляторов рассматривается передаточная функция объекта вида:



что при второй степени оператора p в знаменателе ограничивает точность динамической идентификации объекта управления [2].
 

Постановка задачи:

1. Средствами высокоуровневого языка программирования Python определять по КЧХ субоптимального регулятора максимальное и минимальное значение частот так, чтобы, при максимуме частоты, мнимая и действительная часть передаточной функции были положительными;

2. Средствами библиотеки scipy. optimize высокоуровневого языка программирования Python найти по передаточной функции субоптимального регулятора настройки регулятора, а средствами библиотеки scipy. integrate получить переходные характеристики замкнутой системы регулирования;

3. Для более точной идентификации объекта, использовать в расчётах передаточную функцию, имеющую третью степень оператора p в знаменателе;



4. Сравнить переходные характеристики замкнутой системы, полученные поисковым [3] и беспоисковым методами;

5. Построить с использованием беспоискового метода переходную характеристику для ПИДД алгоритма, сравнить её по интегральному квадратичному критерию качества регулирования с ПИД алгоритмом.


 

Теория

Рассмотрим структурную схему одноконтурной системы регулирования:



Алгоритм оптимального регулятора зависит от точки приложения ступенчатого входного воздействия. На следующем рисунке показаны переходные характеристики замкнутой системы относительно воздействий: а) ─ задающегоs(t); б) ─ внешнего v(t); в) ─ внутреннего λ(t):



Оптимальный регулятор по истечении времени запаздывания τ должен полностью воспроизводить заданное на вход системы единичное воздействие s(t)=1. Для этого передаточная функция замкнутой системы должна быть равна:



из приведенного уравнения получим соотношение для передаточной функции оптимального регулятора:

 (1)

В комплексно-частотной характеристике (1) имеются разрывы с периодом τ, что приводит к потере устойчивости системы. Поэтому, для получения передаточной функции субоптимального регулятора, нужно применить сглаживание при помощи простейшего инерционного элемента с передаточной функцией:



тогда желаемую передаточную функцию субоптимальной замкнутой системы можно представить в виде:



а передаточная функция субоптимального регулятора —

 (2)

Использование передаточной функции субоптимального регулятора (2) может не дать желаемого переходного процесса, поскольку структура субоптимального регулятора зависит от структуры передаточной функции объекта.

Например, при регулировании температуры перегретого пара, объект имеет экстремальную переходную характеристику. В этом случае в качестве сглаживания следует выбирать интегро-дифференцирующее (ИД) звено с передаточной функцией:



тогда передаточная функция субоптимального регулятора запишется как:

 (3)

Имея передаточные функции субоптимальных регуляторов (2),(3), можно перейти к рассмотрению беспоискового метода определения настроек.

Расчет оптимальных настроек линейных регуляторов беспоисковым методом [1]:

Приближение методом наименьших квадратов частотных характеристик субоптимальных (2) или (3) регуляторов выполним на примере ПИДД и ПИД регуляторов, имеющих четыре c1,c2,c3,c4 и три c1,c2,c3 параметра настройки соответственно.

Частными случаями ПИД регулятора будут являться П, ПИ, ПД и ПДД законы регулирования. Для П регулятора необходимо приравнять к 0 параметры настройки, c2,c3,c4 для ПИ ― c3,c4, для ПД ―c2,c4 и для ПДД c2. 

КЧХ линейного ПИДД регулятора представим в виде:

 (4)



Запишем сумму квадратов невязок для N векторов частотных характеристик для всех типов регуляторов